Question

已知（1-ax）ⁿ展開(kāi)式的第r，r+1，r+2三項(xiàng)的二次式系數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第n+1-r與第n+2-r項(xiàng)的系數(shù)之和為0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展開(kāi)式的第r+1與r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：2．
（1）求（1-ax）ⁿ⁺¹展開(kāi)式的中間項(xiàng)；
（2）求（1-ax）ⁿ的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用展開(kāi)式的第r，r+1，r+2三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第n+1-r與第n+2-r項(xiàng)的系數(shù)之和為0，而（1-ax）ⁿ⁺¹展開(kāi)式的第r+1與r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：2．列出方程即可求出a，n的值，然后求出中間項(xiàng)．
（2）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，直接求出展開(kāi)式的系數(shù)的最大項(xiàng)即可．

解答：解：（1-ax）ⁿ展開(kāi)式的第r，r+1，r+2三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，

C

r-1 n

+

C

r+1 n

=2

C

r n

，…①；
第n+1-r與第n+2-r項(xiàng)的系數(shù)之和為0，

C

n-r n

(-a)n-r+ 

C

n-r+1 n

(-a)n-r+1=0…②；
而（1-ax）ⁿ⁺¹展開(kāi)式的第r+1與r+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：2．即

C

r+1 n+1

：

C

r n+1

=2，…③；
由③得n=3r+1，…④
由①得1+

(n-r)(n-r+1)

(r+1)r

=

2(n-r+1)

r

…⑤，
由④⑤解得r=2，n=7，
把r=2，n=7代入②解得a=3．
（1）（1-3x）⁸展開(kāi)式的中間項(xiàng)為

C

4 8

(-3x)4=5670x⁴；
（2）求（1-3x）⁷的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)在奇數(shù)項(xiàng)中，分別是第一項(xiàng)

C

0 7

=1；第三項(xiàng)

C

2 7

(-3x)2=189x²，
第五項(xiàng)

C

4 7

(-3x)4=35×3⁴x⁴=2835x⁴，第七項(xiàng)

C

6 7

(-3x)6=63×3⁴x⁶=5103x⁶．
（1-ax）ⁿ的展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)是第七項(xiàng)

C

6 7

(-3x)6=5103x⁶．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，考查組合數(shù)的求法，考查計(jì)算能力．