Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

1+ax2

，其中a為實數(shù)，常數(shù)e=2.718…．
（1）若x=

1

3

是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）當a=-4時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當a取正實數(shù)時，若存在實數(shù)m，使得關(guān)于x的方程f（x）=m有三個實數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個數(shù)判斷,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，由條件得f′(

1

3

)=0，解出a，并檢驗是否為極值即可；
（2）求出a=-4的函數(shù)的導數(shù)，令f'（x）=0得x=1±

5

2

，而x≠±

1

2

．再解不等式，求出單調(diào)區(qū)間；
（3）求出導數(shù)，令f'（x）=0，討論a＞1時的兩根x1=

a- a2-a

a

，x2=

a+ a2-a

a

．并求出極值，討論它們的符號，再討論當0＜a≤1時，f（x）的單調(diào)性，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

ex

1+ax2

，
其導數(shù)f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
因為x=

1

3

是函數(shù)f（x）的一個極值點，所以f′(

1

3

)=0，
即

1

9

a-

2

3

a+1=0，a=

9

5

．
而當a=

9

5

時，ax2-2ax+1=

9

5

(x2-2x+

5

9

)=

9

5

(x-

1

3

)(x-

5

3

)，
可驗證：x=

1

3

是函數(shù)f（x）的一個極值點．因此a=

9

5

．
（2）當a=-4時，f′(x)=

(-4x2+8x+1)ex

(1-4x2)2

，
令f'（x）=0得-4x²+8x+1=0，解得x=1±

5

2

，而x≠±

1

2

．
所以當x＜-

1

2

時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當-

1

2

＜x＜

2- 5

2

時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當

2- 5

2

＜x＜

1

2

時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當

1

2

＜x＜

2+ 5

2

時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x＞

2+ 5

2

時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
因此f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(1-

5

2

，

1

2

)，(

1

2

，1+

5

2

)；f（x）的單調(diào)減區(qū)間是(-∞，-

1

2

)，(-

1

2

，1-

5

2

)，(1+

5

2

，+∞)； 
（3）當a取正實數(shù)時，f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
令f'（x）=0得ax²-2ax+1=0，
當a＞1時，解得x1=

a- a2-a

a

，x2=

a+ a2-a

a

．
f（x）在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，
但是函數(shù)值恒大于零，極大值f（x₁），極小值f（x₂），
并且根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的變化速度可知當x→+∞時，f(x)=

ex

1+ax2

→+∞，
當x→-∞時，f(x)=

ex

1+ax2

→0．因此當f（x₂）＜m＜f（x₁）時，
關(guān)于x的方程f（x）=m一定總有三個實數(shù)根，結(jié)論成立；
當0＜a≤1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞），
無論m取何值，方程f（x）=m最多有一個實數(shù)根，結(jié)論不成立．
因此所求a的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的知識，具體涉及到導數(shù)的運算，用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，以及函數(shù)與不等式知識的綜合應用，考查學生解決問題的綜合能力．