Question

如圖，矩形ABCD與矩形AB′C′D全等，且所在平面所成的二面角為a，記兩個矩形對角線的交點(diǎn)分別為Q，Q′，AB=a，AD=b．
（1）求證：QQ′∥平面ABB′；
（2）當(dāng)b=

2

a，且a=

π

3

時，求異面直線AC與DB′所成的角；
（3）當(dāng)a＞b，且AC⊥DB'時，求二面角a的余弦值（用a，b表示）．

Answer 1

分析：（1）連接BB′，由題意可得QQ′∥BB′，而BB'?平面ABB′，所以QQ′∥平面ABB′．
（2）分別寫出兩條直線所在的向量

AC

=(a，0，b)，

DB′

=(

a

2

，

3 a

2

，-b)，然后利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩條直線的夾角．
（3）根據(jù)題中條件得到pa=b²，再分別求出兩個平面的法向量，然后利用向量間的有關(guān)運(yùn)算切線兩個法向量的夾角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為二面角的平面角的余弦值．

解答：解：（1）連接BB′，
∵Q，Q′分別是BD，B′D′的中點(diǎn)，
∴QQ′∥BB′，而BB'?平面ABB′，
∴QQ′∥平面ABB′；
（2）以A為原點(diǎn)，AB，AD分別為X軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
由條件可設(shè)A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，0，b），D（0，0，b），又∠BAB′=

π

3

，
AB′=a，
∴B′(

a

2

，

3 a

2

，0)，C′(

a

2

，

3 a

2

，b)，

AC

=(a，0，b)，

DB′

=(

a

2

，

3 a

2

，-b)，
設(shè)異面直線AC與DB′所成角為θ，
則cosθ=

AC • DB′

| AC || DB′ |

=

a2 2 -b2

a2+b2 a2 4 + 3a2 4 +b2

=

a2-2b2

2(a2+b2)

∵b²=2a²，
∴cosθ=-

1

2

所以異面直線AC與DB'所成角為

π

3

（3）設(shè)B′（p，q，0），C′（p，q，b），
∵AB′=a，
∴p²+q²=a²，∴

DB′

=(p，q，-b)，
又有

AC

=(a，0，b)，并且AC⊥DB′，
∴

DB′

•

AC

=pa-b2=0，得pa=b²，
設(shè)平面AB′C′D的法向量為

n

=（x，y，z），
∵

n

⊥

AD

，

n

⊥

AB′

，

AD

=(0，0，b)，

AB′

=(p，q，0)，
∴

n

=(-

q

p

，1，0)，
設(shè)平面ABCD的法向量為

m

，則

m

=（0，±1，0），
∴cosa=

±1

q2 p2 +1

=

|p|

p2+q2

=±

b2 a

a

=±

b2

a2

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到線面的平行關(guān)系與垂直關(guān)系，也有利于建立坐標(biāo)系，利用向量解決空間角、空間距離等問題．