Question

已知數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)分別為a₁=5，a₂=6，a₃=8，且數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足，其中m，n為任意正整數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）求滿足的所有正整數(shù)k，n．

Answer 1

解：（1）在等式中，
分別令m=1，m=2，得
，①
，②
②-①，得，
在等式中，
令n=1，m=2，得
，
由題設(shè)知，S₂=11，S₃=19，
故S₄=29，
所以a_n+2=2n+6，（n∈N^*），
即a_n=2n+2，（n≥3，n∈N^*），
又a₂=6也適合上式，
故，即．
（2）記-，（*）
n=1時(shí)，無正整數(shù)k滿足等式（*）
n≥2時(shí)，等式（*）即為（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²，
①當(dāng)n=10時(shí)，k=131．
②當(dāng)n＞10時(shí)，則k＜n²+3n+1，
∵k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，
∴k＞n²+3n，
從而n²+3n＜k＜n²+3n+1，
∵n，k∈N^*，∴k不存在，從而無正整數(shù)k滿足等式（*）．
③當(dāng)n＜10時(shí)，則k＞n²+3n+1，
∵k∈N^*，∴k≥n²+3n+2，
從而（n²+3n+1）²-3（n-10）≥（n²+3n+2）²．
即2n²+9n-27≤0，
∵n∈N^*，∴n=1或2．
n=1時(shí)，k²=52，無正整數(shù)解；
n=2時(shí)，k²=145，無正整數(shù)解．
綜上所述，滿足等式（*）的n，k分別為n=10，k=131．
分析：（1）在等式中，分別令m=1，m=2，并相減，得，在等式中，令n=1，m=2，得，由此能夠求出求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n．
（2）記-，（*）n=1時(shí)，無正整數(shù)k滿足等式（*）n≥2時(shí)，等式（*）即為（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²，由此進(jìn)行分類討論，能求出滿足的所有正整數(shù)k，n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查滿足條件的正整數(shù)的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意迭代法和分類討論思想的靈活運(yùn)用．