（2012•江西模擬）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1，x∈R，將函數(shù)f（x）向左平移
π
6
個單位后得函數(shù)g（x），設(shè)△ABC三個角A、B、C的對邊分別為a、b、c．
（Ⅰ）若c=
7
，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；
（Ⅱ）若g（B）=0且
m
=(cosA，cosB)，
n
=(1，sinA-cosAtanB)，求
m
•
n
的取值范圍．
分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x）為sin(2x-
π
6
)-1，由f（C）=0求得sin(2C-
π
6
)=1，C=
π
3
，由余弦定理知：a2+b2-2abcos
π
3
=7，因sinB=3sinA，可得b=3a，由此求得a、b的值．
（Ⅱ）由題意可得g(x)=sin(2x+
π
6
)-1，由g（B）=0求得sin(2B+
π
6
)=1，故2B+
π
6
=
π
2
，化簡
m
•
n
等于sin（A+
π
6
），根據(jù)A+
π
6
的范圍求得
m
•
n
的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x-1=sin(2x-
π
6
)-1．…（1分）
f(C)=sin(2C-
π
6
)-1=0，所以sin(2C-
π
6
)=1．
因為2C-
π
6
∈(-
π
6
，
11π
6
)，
所以2C-
π
6
=
π
2

所以C=
π
3
．…（3分）
由余弦定理知：a2+b2-2abcos
π
3
=7，因sinB=3sinA，
所以由正弦定理知：b=3a．…（5分）
解得：a=1，b=3…（6分）
（Ⅱ）由題意可得g(x)=sin(2x+
π
6
)-1，所以g(B)=sin(2B+
π
6
)-1=0，所以sin(2B+
π
6
)=1．
因為2B+
π
6
∈(
π
6
，
13π
6
)，所以2B+
π
6
=
π
2
，即B=
π
6

又
m
=(cosA，
3
2
)，
n
=(1，sinA-
3
3
cosA)，
于是
m
•
n
=cosA+
3
2
(sinA-
3
3
cosA)=
1
2
cosA+
3
2
sinA=sin(A+
π
6
)…（8分）
∵B=
π
6
∴A∈(0，
5
6
π)，得 A+
π
6
∈(
π
6
，π)…（10分）
∴sin(A+
π
6
)∈(0，1]，即
m
•
n
∈(0，1]．…（12分）
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，解三角形，屬于中檔題．
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AC
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PB
=
0
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1anan+1
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和．
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x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右頂點A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸進線的交點分別為B、C．若
AB
=
1
2
BC
，則雙曲線的離心率是
5
5
．

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