Question

若函數(shù)y=xlnx+a有零點，則實數(shù)a的取值范圍是

(-∞，

1

e

]

．

Answer 1

分析：利用導數(shù)求得當x=

1

e

時，函數(shù)取得最小值，再根據(jù)函數(shù)的最小值小于或等于零，求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：由于函數(shù)的定義域為（0，+∞），令函數(shù)的導數(shù)y′=lnx+1=0，求得x=

1

e

．
在（0，

1

e

）上，y′＜0，函數(shù)y是減函數(shù)，在（

1

e

，+∞）上，y′＞0，函數(shù)y是增函數(shù)，故當x=

1

e

時，函數(shù)取得最小值．
要使函數(shù)有零點，需函數(shù)的最小值小于或等于零，即

1

e

•ln

1

e

+a≤0，∴a≤

1

e

，
即實數(shù)a的取值范圍是(-∞，

1

e

]，
故答案為 (-∞，

1

e

]．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，函數(shù)有零點的條件，屬于基礎題．