Question

將面積為2的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使二面角D-AC-B的大小為α（0°＜α＜180°），則三棱錐D-ABC的外接球的體積的最小值是（　�。�

• A、

  8 2 π

  3

• B、

  32π

  3

• C、

  4π

  3

• D、與α的值有關(guān)的數(shù)

Answer 1

分析：由題意可知，AC的中點(diǎn)就是外接球的球心，三棱錐D-ABC的外接球的體積的最小，就是球的半徑最小，就是AC最短，利用長(zhǎng)方形的面積求出AC的最小值即可．

解答：解：將面積為2的長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起，使二面角D-AC-B的大小為α（0°＜α＜180°），則三棱錐D-ABC的外接球的球心就是AC 的中點(diǎn)，三棱錐D-ABC的外接球的體積的最小，就是球的半徑最小，就是AC最短，由題意可設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：a，寬為：b，所以ab=2，AC=

a2+b2

≥

2ab

=2，此時(shí)a=b=

2

，AC=2，球的半徑為：1，
三棱錐D-ABC的外接球的體積的最小值是：

4π

3

．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體，確定體積的求法，本題的關(guān)鍵是確定球心，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．