Question

（2012•道里區(qū)三模）已知拋物線C：y=ax²（a＞0）的焦點到準線的距離為

1

4

，且C上的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關于直線y=x+m對稱，并且x1x2=-

1

2

，那么m=（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  5

  2

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：先確定拋物線方程，設出直線AB方程代入拋物線方程，求出AB中點坐標，即可求得m的值．

解答：解：拋物線C：y=ax²（a＞0）可化為x2=

1

a

y（a＞0）
∵拋物線C：y=ax²（a＞0）的焦點到準線的距離為

1

4

，
∴

1

2a

=

1

4

，∴a=2
∴y=2x²，
∵C上的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關于直線y=x+m對稱，
∴直線AB斜率為-1，
設直線方程為y=-x+b與y=2x²聯(lián)立得2x²+x-b=0
∴x1x2=-

b

2

=-

1

2

，∴b=1
∵x₁+x₂=-

1

2

，y₁+y₂=

5

2

，
∴AB中點坐標為（-

1

4

，

5

4

）
代入y=x+m得m=

3

2

故選A．

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．