設O是正三棱錐P-ABC底面是三角形ABC的中心,過O的動平面與PC交于S,與PA、PB的延長線分別交于Q、R,則和式
1
PQ
+
1
PR
+
1
PS
(  )
A、有最大值而無最小值
B、有最小值而無最大值
C、既有最大值又有最小值,兩者不等
D、是一個與面QPS無關的常數(shù)
分析:設正三棱錐P-ABC中,各側(cè)棱兩兩夾角為α,PC與面PAB所成角為β,則VS-PQR=
1
3
S△PQR•h=
1
3
1
2
PQ•PRsinα)•PS•sinβ,記O到各面的距離為d,利用vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS,可得:PQ•PR•PS•sinβ=d(PQ•PR+PR•PS+PQ•PS),由此可得結(jié)論.
解答:解:設正三棱錐P-ABC中,各側(cè)棱兩兩夾角為α,PC與面PAB所成角為β,
則vS-PQR=
1
3
S△PQR•h=
1
3
1
2
PQ•PRsinα)•PS•sinβ.
另一方面,記O到各面的距離為d,則VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,
1
3
S△PQR•d=
1
3
S△PRS•d+
1
3
S△PRS•d+
1
3
S△PQS
•d
=
d
3
×
1
2
PQ•PRsinα+
d
3
×
1
2
PS•PRsinα+
d
3
×
1
2
PQ•PS•sinα,
故有:PQ•PR•PS•sinβ=d(PQ•PR+PR•PS+PQ•PS),
1
PQ
+
1
PR
+
1
PS
=
sinβ
d
=常數(shù).
故選:D.
點評:本題考查三棱錐體積的計算,考查學生的探究能力,正確求體積是關鍵,是中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設O是正三棱錐P-ABC的底面△ABC的中心,過O的動平面與PC交于S,與PA、PB的延長線分別交于Q、R,則
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PQ
+
1
PR
+
1
PS
( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設O是正三棱錐P―ABC底面是三角形ABC的中心,過O的動平面與PC交于S,與PA、PB的延長線分別交于Q、R,則和式                  (    )

    A.有最大值而無最小值                                      

    B.有最小值而無最大值

    C.既有最大值又有最小值,兩者不等                    

    D.是一個與面QPS無關的常數(shù)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設O是正三棱錐P-ABC底面是三角形ABC的中心,過O的動平面與PC交于S,與PA、PB的延長線分別交于Q、R,則和式(    )

    A.有最大值而無最小值                   B.有最小值而無最大值

    C.既有最大值又有最小值,兩者不等       D.是一個與面QPS無關的常數(shù)

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科目:高中數(shù)學 來源:2013年全國高校自主招生數(shù)學模擬試卷(十四)(解析版) 題型:選擇題

設O是正三棱錐P-ABC的底面△ABC的中心,過O的動平面與PC交于S,與PA、PB的延長線分別交于Q、R,則( )
A.有最大值而無最小值
B.有最小值而無最大值
C.無最大值也無最小值
D.是與平面QRS無關的常數(shù)

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