Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點(diǎn)在x軸上，原點(diǎn)O和點(diǎn)B分別是線段AB和AC的中點(diǎn)，已知AO=m（m為常數(shù)），平面上的點(diǎn)P滿足PA+PB=6m．
（1）試求點(diǎn)P的軌跡C₁的方程；
（2）若點(diǎn)（x，y）在曲線C₁上，求證：點(diǎn)(

x

3

，

y

2 2

)一定在某圓C₂上；
（3）過(guò)點(diǎn)C作直線l，與圓C₂相交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)N恰好是線段CM的中點(diǎn)，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意結(jié)合橢圓的定義可得點(diǎn)P的軌跡C₁是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且半焦距長(zhǎng)c=m，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=3m，從而寫(xiě)出C₂的方程．
（2）若點(diǎn)（x，y）在曲線C₁上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合曲線的方程：

x2

9m2

+

y2

8m2

=1．經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換得x₀²+y₀²=m²，從而得出點(diǎn)(

x

3

，

y

2 2

)一定在某一圓C₂上．
（3）由題意C（3m，0），M（x₁，y₁），利用因?yàn)辄c(diǎn)N恰好是線段CM的中點(diǎn)，得到N點(diǎn)的坐標(biāo)，代入C₂的方程得方程組，即可解得直線l有且只有一條．

解答：解：（1）由題意可得點(diǎn)P的軌跡C₁是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．…（2分）
且半焦距長(zhǎng)c=m，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=3m，則C₁的方程為

x2

9m2

+

y2

8m2

=1．…（5分）
（2）若點(diǎn)（x，y）在曲線C₁上，則

x2

9m2

+

y2

8m2

=1．設(shè)

x

3

=x0，

y

2 2

=y0，則x=3x₀，y=2

2

y0．…（7分）
代入

x2

9m2

+

y2

8m2

=1，得x₀²+y₀²=m²，所以點(diǎn)(

x

3

，

y

2 2

)一定在某一圓C₂上．
…（10分）
（3）由題意C（3m，0）．…（11分）
設(shè)M（x₁，y₁），則x₁²+y₁²=m²．…①
因?yàn)辄c(diǎn)N恰好是線段CM的中點(diǎn)，所以N(

x1+3m

2

，

y1

2

)．代入C₂的方程得(

x1+3m

2

)2+(

y1

2

)2=m2．…②
聯(lián)立①②，解得x₁=-m，y₁=0．…（15分）
故直線l有且只有一條，方程為y=0．…（16分）
（若只寫(xiě)出直線方程，不說(shuō)明理由，給1分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線的軌跡問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．