Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=（tanA+tanC，

3

），

n

=（tanAtanC-1，1），且

m

∥

n

．
（1）求角B；
（2）若b=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,基本不等式

專題：解三角形

分析：（1）通過兩向量平行，求得tanA和tanC的關系，求得tanB，進而求得B．
（2）利用余弦定理求得a和c的關系式，利用基本不等式的性質(zhì)求得ac的最大值，進而利用三角形面積公式求得其最大值．

解答： 解：（1）∵m∥n，
∴tanA+tanC=

3

(tanAtanC-1)，
∴

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，即tan(A+C)=-

3

，
∴tanB=-tan(A+C)=

3

，
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．                     
（2）在△ABC中，由余弦定理有，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∴a²+c²=ac+4，
∵a²+c²≥2ac，
∴ac≤4，當且僅當a=c=2時，取等，
∴△ABC的面積S=

1

2

acsinB≤

3

4

×4=

3

，
故△ABC的面積的最大值為

3

．

點評：本題主要考查了余弦定理的運用，向量數(shù)量積，基本不等式的基本性質(zhì)．考查了學生推理和運算的能力．