Question

【題目】已知橢圓上的一動點到右焦點的最短距離為，且右焦點到右準線的距離等于短半軸的長．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連接交橢圓于另一點，證明直線與軸相交于定點；

（3）在（2）的條件下，過點的直線與橢圓交于兩點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）利用橢圓的定義和性質即可解出a、b、c；（2）利用點斜式方程得出直線PB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)之間的關系得出點P、B的坐標之間的關系，再利用點斜式表示直線AE的方程，進而即可證明過定點；（3）分類討論直線MN是否與x軸垂直，與橢圓方程聯(lián)立得出點MN的坐標之間的關系，再表示出,進而即可求出其取值范圍．

（1）由題意可得解得，

∴橢圓C的方程為.

（2）如圖所示：

設直線PB的方程為y＝k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），

則A（x1，﹣y1）．

聯(lián)立，消去y化為方程（1+2k2）x2﹣16k2x+32k2﹣4＝0，

∵直線PB與橢圓有兩個不同的交點，∴△＝（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣4）＞0．（*）

x1+x2＝，．

直線AE的方程為，

令y＝0，則＝＝＝＝．故直線AE過定點Q（1，0）．

（3）①當直線MN與x軸重合時，＝（2，0）（﹣2，0）＝﹣4；

②當直線MN與x軸不重合時，設直線MN的方程為my＝x﹣1，

聯(lián)立消去x化為方程（2+m2）y2+2my﹣3＝0，可知△＞0．

可得yM+yN＝，yMyN＝．

∴＝xMxN+yMyN＝（myM+1）（myN+1）+yMyN＝（1+m2）yMyN+m（yM+yN）+1

＝＝﹣4+，

∵m2≥0，∴，∴，

∴的取值范圍是．

綜上可知：的取值范圍是．