Question

已知直線l：y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為（

2

3

， 

1

3

)．
（1）求此橢圓的離心率．
（2）若橢圓右焦點(diǎn)關(guān)于直線l：y=-x+1的對(duì)稱點(diǎn)在圓x²+y²=5上，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯(lián)立直線與橢圓的方程得關(guān)于x的一元二次方程；設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂，y₁+y₂；從而得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，得出a、c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率．
（Ⅱ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（c，0），F(xiàn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為（1，1-c），代入圓的方程 x²+y²=1，得出c的值，從而得橢圓的方程．

解答：解：（1）由

y=-x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

得（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0
△=4a⁴-4（a²+b²）（a²-a²b²）＞0⇒a²+b²＞1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2a2

b2+a2

∵線段AB的中點(diǎn)為（

2

3

， 

1

3

)，
∴

2a2

b2+a2

=

4

3

，于是得：a²=2b²
又 a²=b²+c²，∴a²=2c²，∴e=

2

2

（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F（c，0），則點(diǎn)F關(guān)于直線l：y=-x+1的對(duì)稱點(diǎn)P（1，1-c）
由已知點(diǎn)P在圓x²+y²=5上，
∴1+（1-c）²=5，整理得c²-2c-3=0，解得c=3或c=-1
∵c＞0，∴c=3，從而a²=18，b²=c²=9，
所求的橢圓方程為：

x2

18

+

y2

9

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，也考查了一定的邏輯思維能力和計(jì)算能力．解題時(shí)應(yīng)細(xì)心解答．