Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2BC，P、Q分別為線段AB、CD的中點(diǎn)，EP⊥底面ABCD．
（1）求證：AQ∥平面CEP；
（2）求證：平面AEQ⊥平面DEP；
（3）若EP=AP=1，求三棱錐E-AQC的體積．

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，∵AP=PB，DQ=QC，∴AP∥CQ 且AP=CQ，
∴AQCP為平行四邊形，∴CP∥AQ．∵CP?平面CEP，AQ?平面CEP，
∴AQ∥平面CEP．
（2）∵EP⊥平面ABCD，AQ?平面ABCD，∴AQ⊥EP．
∵AB=2BC，P為AB中點(diǎn)，∴AP=AD．連PQ，則ADQP為正方形．∴AQ⊥DP．
又EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP．∵AQ?平面AEQ．∴平面AEQ⊥平面DEP．
（3）∵EP⊥平面ABCD，∴EP為三棱錐E-AQC的高，
∴=．
分析：（1）證明AQCP為平行四邊形，可得CP∥AQ，從而證明AQ∥平面CEP．
（2）先證明AQ⊥EP，利用ADQP為正方形可得 AQ⊥DP，從而證得AQ⊥平面DEP，進(jìn)而得到平面AEQ⊥平面DEP．
（3）EP為三棱錐E-AQC的高，△ACQ的面積等于•CQ•AD，代入三棱錐的體積公式進(jìn)行運(yùn)算．
點(diǎn)評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，求三棱錐的體積，證明AQ⊥平面DEP 是解題的難點(diǎn)．