Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直線l：y=x+2與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切，設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁作直線m與曲線C交于P、Q兩點，求△PQF₂的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率公式，求得2a²=3b²，利用點到直線的距離公式，即可求得b及a的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線PQ的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及三角形的面積公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得△PQF₂的面積的最大值．

解答 解：（1）橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則2a²=3b²，
由直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切
∴b=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，則b²=2，a²=3，
∴橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）可知：F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∴設(shè)直線m：x=my-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（2m²+3）y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{4}{2{m}^{2}+3}$，
△PQF₂的面積S=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨丨y₁-y₂丨=丨y₁-y₂丨
=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{（2{m}^{2}+3）^{2}}+\frac{16}{2{m}^{2}+3}}$=4$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{（2{m}^{2}+3）^{2}}}$
=4$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{1}{4（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+4}}$，
設(shè)m²+1=t，t≥1，
則S=4$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{1}{4t+\frac{1}{t}+4}}$，t≥1，設(shè)f（t）=$\sqrt{3}$×$\sqrt{\frac{1}{4t+\frac{1}{t}+4}}$，
由函數(shù)的單調(diào)性可知：f（t）在（1，+∞）單調(diào)遞減，則當(dāng)t=1時取最大值，最大值為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)m=0時，△PQF₂的面積取最大值，最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△PQF₂的面積的最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，函數(shù)單調(diào)性與橢圓的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．