Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中點(diǎn)．
（1）求直線BE和直線CD所成角的余弦值；
（2）在棱C₁D₁上是否存在一點(diǎn)F，使B₁F∥平面A₁BE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)異面直線所成角的定義，∠ABE為異面直線所成的角，再通過解三角形ABE可求．
（II）設(shè)AB₁∩A₁B=O，取C₁D₁中點(diǎn)F，連接OE、EB、B₁F．根據(jù)三角形中位線定理，得EF∥C₁D且EF=

1

2

C₁D，平行四邊形AB₁C₁D中，有B₁O∥C₁D且B₁O=

1

2

C₁D，從而得到EF∥B₁O且EF=B₁O，四邊形B₁OEF為平行四邊形，B₁F∥OE，所以B₁F∥平面A₁BE，即存在C₁D₁中點(diǎn)F，使B₁F∥平面A₁BE．

解答：解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AB∥CD，
故∠ABE（或其補(bǔ)角）即為直線BE和直線CD所成角．
設(shè)正方體的棱長為1，則由E是棱DD₁的中點(diǎn)，可得AB=1，BE=

BD2+DE2

=

3

2

，
在Rt△ABE中，由余弦定理求得cos∠ABE=

AB

AE

=

2

3

．
（II）設(shè)AB₁∩A₁B=O，取C₁D₁中點(diǎn)F，連接OE、EB、B₁F．根據(jù)三角形中位線定理，得EF∥C₁D且EF=

1

2

C₁D，平行四邊形AB₁C₁D中，有B₁O∥C₁D且B₁O=

1

2

C₁D，
∴EF∥B₁O且EF=B₁O，四邊形B₁OEF為平行四邊形，B₁F∥OE，又B₁F?平面A₁BE，OE?平面A₁BE，
∴B₁F∥平面A₁BE，
即存在C₁D₁中點(diǎn)F，使B₁F∥平面A₁BE．

點(diǎn)評：本題考查了異面直線所成的角，考查線面平行的判定及空間想象能力、推理論證能力．另外本題也可利用空間向量法求解．