Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）若在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061711072101806336/SYS201306171108152232651078_DA.files/image004.png">，．

由，得．             

當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，符合題意。   

（Ⅱ）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，恒成立．

由，得．            

．方程有一負(fù)根和一正根，．其中不在函數(shù)定義域內(nèi)．

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．即在定義域上的最小值為．                

依題意只需，即．又，所以，，. 所以，

即.               

令，則

當(dāng)時(shí)，，所以是增函數(shù)。由，所以的解集為，即，所以．即的取值范圍是．

解法二：，即

設(shè)，則，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)

，即是減函數(shù)，         

當(dāng)時(shí)，先證，

設(shè)，，

在上是增函數(shù)且，，即，

當(dāng)時(shí)，

由，的最大值為2，即的取值范圍是．     

考點(diǎn)：函數(shù)的極值；解不等式

點(diǎn)評(píng)：求較復(fù)雜函數(shù)的性質(zhì)，常用到導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)對(duì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值、不等式等問(wèn)題都有很大作用。