Question

已知向量，向量，且，動點M（x，y）的軌跡為E，
（1）求軌跡E的方程；
（2）證明：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB（O為坐標原點），并求出該圓的方程．

Answer 1

解：（1）因為，，，
所以=x²+4（y²-1）=0，所以，軌跡E的方程為：；
（2）設圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，
解方程組，
即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0
要使切線與軌跡E恒有兩個交點A，B
則使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0
即：4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1
且
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=
要使，需使x₁x₂+y₁y₂=0
即：
所以5t²-4k²-4=0
即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1
即4k²+4＜20k²+5
即16k²＞-1，恒成立．
又因為直線y=kx+t為圓心在原點的圓的一條切線
所以圓半徑為，，所求的圓為
當切線的斜率不存在時，切線為，與交于點（或也滿足OA⊥OB
綜上所述，存在圓心在原點的圓使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點．
分析：（1）已知兩向量的坐標和兩向量的內(nèi)積為0，有內(nèi)積的坐標表示法即可得動點W的軌跡方程；
（2）由題意對于要找的直線分斜率存在于不存在加以討論，對于斜率存在設出直線與動點軌跡E進行聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及方程的思想求出要求的圓的方程；對于斜率不存在點都具體加以驗證即可．
點評：此題第一問重點考查了兩向量的內(nèi)積的坐標的表示方法，還考查了直接法求動點的軌跡的方法；
第二問重點考查了直線方程與橢圓方程進行聯(lián)立后根與系數(shù)的關(guān)系及設而不求和整體代換的思想，還考查了分析問題是的分類討論的問題．