Question

圓錐PO如圖1所示，圖2是它的正（主）視圖．已知圓O的直徑為AB，C是圓周上異于A、B的一點，D為AC的中點．

（Ⅰ） 求該圓錐的側(cè)面積S；

（Ⅱ） 求證：平面PAC⊥平面POD；

（Ⅲ） 若∠CAB=60°，求三棱錐A﹣PBC的體積．

Answer 1

考點：

平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積．

專題：

綜合題；空間位置關系與距離．

分析：

（Ⅰ）確定圓的半徑，求出圓錐的母線長，可得圓錐的側(cè)面積S；

（Ⅱ） 連接OC，先根據(jù)△AOC是等腰直角三角形證出中線OD⊥AC，再結合PO⊥AC證出AC⊥POD，利用平面與平面垂直的判定定理，可證出平面POD⊥平面PAC；

（Ⅲ） 若∠CAB=60°利用等體積轉(zhuǎn)化，可求三棱錐A﹣PBC的體積．

解答：

（Ⅰ）解：由正（主）視圖可知圓錐的高，圓O的直徑為AB=2，故半徑r=1．

∴圓錐的母線長，

∴圓錐的側(cè)面積．             …（4分）

（Ⅱ）證明：連接OC，

∵OA=OC，D為AC的中點，∴OD⊥AC．

∵PO⊥圓O，AC⊂圓O，∴PO⊥AC．

∵OD∩PO=O，∴AC⊥平面POD．

又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面POD…（8分）

（Ⅲ）解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，又∠CAB=60°，∴

∵PO=

∴三棱錐A﹣PBC的體積為=…（12分）

點評：

本題考查三視圖，考查面面垂直，考查側(cè)面積與體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．