Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F作直線l與拋物線交于A，B兩點，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點C．
（1）證明：∠ACF=∠BCF；
（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值時線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知，F(xiàn)（

p

2

，0），C（-

p

2

，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為x=my+

p

2

，代入拋物線方程y²=2px求得y²-2pmy-p²=0，由韋達(dá)定理可求得y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²，
從而可求得tan∠ACF=tan∠BCF；
（2）設(shè)y₁＞0，利用基本不等式可求得tan∠ACF=

2py1

y12+p2

≤

2py1

2py1

=1，當(dāng)且僅當(dāng)y₁=p時取等號，從而可得∠ACF取最大值

π

4

，繼而可求∠ACB取得最大值時線段AB的長．

解答：證明：（Ⅰ）由題設(shè)知，F(xiàn)（

p

2

，0），C（-

p

2

，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為x=my+

p

2

，
代入拋物線方程y²=2px，得y²-2pmy-p²=0．
y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²．…（4分）
不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，則
tan∠ACF=

y1

x1+ p 2

=

y1

y12 2p + p 2

=

2py1

y12+p2

=

2py1

y12-y1•y2

=

2p

y1-y2

，
同理可得tan∠BCF=

y2

x2+ p 2

=

2p

y1-y2

，
∴tan∠ACF=tan∠BCF，
∴∠ACF=∠BCF．…（8分）
（Ⅱ）如（Ⅰ）所設(shè)y₁＞0，tan∠ACF=

2py1

y12+p2

≤

2py1

2py1

=1，當(dāng)且僅當(dāng)y₁=p時取等號，
此時∠ACF取最大值

π

4

，
∴∠ACB=2∠ACF取最大值

π

2

，
并且A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），|AB|=2p．…（12分）

點評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，著重考查韋達(dá)定理與拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查基本不等式，屬于難題．