Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E為BC的中點．
（Ⅰ）求異面直線NE與AM所成角的余弦值；
（Ⅱ）在線段AN上是否存在點S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)D-xyz，求出兩條異面直線上的兩個向量的坐標(biāo)，求出這兩個向量
 所成的角的余弦值，再取絕對值，即得異面直線NE與AM所成角的余弦值．
（Ⅱ）假設(shè)在線段AN上存在點S，使得ES⊥平面AMN．設(shè)

AS

=?λ

AN

，則 

ES

=

EA

+

AS

．
由ES⊥平面AMN，得

ES • AM =0 ES • AN =0

，求得 λ=

1

2

，|AS|=

2

2

．

解答：解：（Ⅰ）如圖，以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)D-xyz，
依題意，得D（0，0，0），A（1，0，0），M（0，0，1），C（0，1，0），
B（1，1，0），N(1， 1， 1)，E(

1

2

， 1， 0)．
∴

NE

=(-

1

2

，0， -1)，

AM

=(-1， 0， 1)，
∵cos＜

NE

，

AM

＞=

NE • AM

| NE |×| AM |

=-

10

10

，
所以，異面直線NE與AM所成角的余弦值為

10

10

•
（Ⅱ）假設(shè)在線段AN上存在點S，使得ES⊥平面AMN．
∵

AN

=（0，1，1），設(shè)

AS

=?λ

AN

=（0，λ，λ），

EA

=(

1

2

， -1， 0)，
∴

ES

=

EA

+

AS

=(

1

2

， λ-1， λ)．
由ES⊥平面AMN，得

ES • AM =0 ES • AN =0

，即

- 1 2 +λ=0 (λ-1)+λ=0.

，λ=

1

2

，
此時

AS

=(0，

1

2

，

1

2

)，|

AS

|=

2

2

•  經(jīng)檢驗，當(dāng)|AS|=

2

2

時，ES⊥平面AMN．
故線段AN上存在點S，使得ES⊥平面AMN，此時|AS|=

2

2

．

點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，證明線面垂直的方法，求平面的法向量的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．