設橢圓的焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),右準線l交x軸于點A,且
(Ⅰ)試求橢圓的方程;
(Ⅱ)過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點(如圖所示),試求四邊形DMEN面積的最大值.

【答案】分析:(Ⅰ)由焦點坐標可求得c,進而根據(jù)求得a,進而求得b,則橢圓方程可得.
(Ⅱ)先看當直線DE和直線MN與x軸垂直時,可求得四邊形DMEN的面積;進而看直線DE,MN均與x軸不垂直時,設DE的直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y,設D(x1,y1),E(x2,y2),進而利用韋達定理可得x1x2和x1+x2,進而可表示出|DE|,同理可表示出|MN|進而可表示出四邊形的面積,進而根據(jù)均值不等式求得四邊形的面積的范圍,則最大值和最小值可得.
解答:解:(Ⅰ)由題意,,∴A(a2,0),
∴F2為AF1的中點
∴a2=3,b2=2
即橢圓方程為

(Ⅱ)當直線DE與x軸垂直時,|DE|=
此時,四邊形DMEN的面積為
同理當MN與x軸垂直時,也有四邊形DMEN的面積為
當直線DE,MN均與x軸不垂直時,設DE:y=k(x+1),代入橢圓方程,消去y得:(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0.
設D(x1,y1),E(x2,y2),則
所以,,
所以,,
同理,|MN|=
所以,四邊形的面積S===
,得
因為,
當k=±1時,,且S是以u為自變量的增函數(shù),
所以
綜上可知,.即四邊形DMEN面積的最大值為4,最小值為
點評:本題主要考查了橢圓的標準方程問題.涉及了直線與橢圓的關系,考查了學生綜合分析問題和基本運算的能力.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,拋物線C1y2=4x的焦點到準線的距離與橢圓C2
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的長半軸相等,設橢圓的右頂點為A,C1,C2在第一象限的交點為B,O為坐標原點,且△OAB的面積為
2
6
3

(1)求橢圓C2的標準方程;
(2)過點A作直線l交C1于C,D兩點,射線OC,OD分別交C2于E,F(xiàn)兩點.
(I)求證:O點在以EF為直徑的圓的內部;
(II)記△OEF,△OCD的面積分別為S1,S2,問是否存在直線l,使得S2=3S1?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
α 2
+
y 2
α2-1
=1(a>1)
的左右焦點為F1,F(xiàn)2,拋物線C:y2=2px以F2為焦點且與橢圓相交于點M,直線F1M與拋物線C相切.
(Ⅰ)求拋物線C的方程和點M的坐標;
(Ⅱ)過F2作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB、DE,設弦AB、DE的中點分別為F、N,求證直線FN恒過定點.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年廣西桂林市、崇左市、防城港市高考第一次聯(lián)合模擬理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

 如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F、F,A是橢圓C上的一點,AF⊥FF,O是坐標原點,OB垂直AF于B,且OF=3OB.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率;

(Ⅱ)求t∈(0,b),使得命題“設圓x+y=t上任意點M(x,y)處的切線交橢圓C于Q、Q兩點,那么OQ⊥OQ”成立.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年廣東省等三校高三2月月考數(shù)學理卷 題型:解答題

(本題滿分14分)

已知橢圓的左右焦點為,拋物線C:以F2為焦點且與橢圓相交于點M,直線F1M與拋物線C相切。

(Ⅰ)求拋物線C的方程和點M的坐標;

(Ⅱ)過F2作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB、DE,設弦AB、DE的中點分別為F、N,求證直線FN恒過定點;

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學卷(江西) 題型:選擇題

設橢圓的離心率為e,右焦點為F(c,0),方程ax2bxc=0的兩個實根分別為x1x2,則點P(x1,x2)

A.必在圓x2y2=2內             B.必在圓x2y2=2上

C.必在圓x2y2=2外             D.以上三種情形都有可能

 

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