Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=2^x-1的圖象上，數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n-12（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)T_n最小時(shí)，求n的值；
（3）求不等式T_n＜b_n的解集．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)（n，S_n）代入函數(shù)f（x）=2^x-1得到數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后由a_n=S_n-S_n-1求解n≥2使得數(shù)列通項(xiàng)，最后驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=log₂a_n-12，得到數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，求出首項(xiàng)和公差，則其前n項(xiàng)和得到表示，利用二次函數(shù)求使其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n值；
（3）直接把T_n和b_n的代數(shù)式代入T_n＜b_n化為一元二次不等式求解．

解答：（1）依題意：S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
當(dāng)n=1，S₁=a₁=1，∴a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）因?yàn)閎_n=log₂a_n-12=n-13，
所以b₁=-12，d=b_n-b_n-1=（n-13）-（n-1-13）=1．
所以數(shù)列{b_n}是以-12為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
∴T_n=-12n+

n(n-1)

2

=

n2-25n

2

=

1

2

（n-

25

2

）²-

625

8

．
故當(dāng)n=12或13時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和最小；
（3）由T_n-b_n=

n2-25n

2

-（n-13）=

n2-27n+26

2

=

(n-1)(n-26)

2

＜0，
∴1＜n＜26，且n∈N^*，
所以不等式的解集為{n|1＜n＜26，n∈N^*}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及一元二次不等式的解法，是中檔題．