已知f（x）=logax（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ） 解不等式：f（x+1）-f（1-x）＞0；
（Ⅱ） 若f（x）在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a的值．

解：（Ⅰ）不等式：f（x+1）-f（1-x）＞0 即 即 loga （x+1）-loga （-x+1）＞0，-
亦即 loga （x+1）＞loga （-x+1）…1分
（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式等價(jià)于，解得-1＜x＜0…3分
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，上述不等式 ，解得 0＜x＜1…5分
綜上可得，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為（-1，0）； 當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為（0，1）．
（Ⅱ）（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
y=loga x 在[2，4]上是減函數(shù)，故函數(shù)的最小值為f（1），最大值為f（2），
由題設(shè)得loga2-loga4=1，即 =1，∴a=…7分
（2）當(dāng) a＞1時(shí)，y=loga x 在[2，4]上是增函數(shù)，故函數(shù)的最小值為f（2），最大值為f（4），
由題設(shè)得 loga4-loga2=1，即loga2=1，∴a=2．
綜上得 a=2 或a=…9分．
分析：（Ⅰ）不等式等價(jià)于 loga （x+1）＞loga （-x+1），分0＜a＜1和a＞1兩種情況，分別求得不等式的解集．
（Ⅱ）（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性可得loga2-loga4=1，由此求得a的值．當(dāng) a＞1時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性可得 loga4-loga2=1，由此求得a的值．綜合可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)不等式的解法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、以及等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
log
(4x+1)
4
+kx是偶函數(shù)，其中x∈R，且k為常數(shù)．
（1）求k的值；
（2）記g（x）=4f（x）求x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)個(gè)g（x）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=3x，那么f（log
 
4
1
2
）的值為
-9
-9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)有f（x）=log 
110
x．
（1）求f（x）的解析式；  
（2）解不等式f（x）≤2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log 
1
4
x，那么f（-
1
2
）的值是（　�。�
A、
1
2
B、-
1
2
C、2
D、-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知f（x）=
log(4x+1)4
+kx是偶函數(shù)，其中x∈R，且k為常數(shù)．
（1）求k的值；
（2）記g（x）=4f（x）求x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)個(gè)g（x）的最大值．

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