Question

有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，如圖分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點C的位置． 　　解法一：根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點x km， 　　∵BD＝40，AC＝50－x， 　　∴BC＝． 　　又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有 　　y＝3a(50－x)＋(0＜x＜50)． 　　＝．令＝0，解得x＝30． 　　在(0，50)上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在x＝30 km處取得最小值，此時AC＝50－x＝20(km)． 　　∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最�。� 　　解法二：設(shè)∠BCD＝， 　　則BC＝，CD＝40·cot(0＜＜)． 　　∴AC＝50－40·cot． 　　設(shè)總的水管費用為f()，依題意，有 　　f()＝3a(50－40·cot)＋5a·＝150a＋40a·， 　　∴()＝40a·． 　　令()＝0，得cos＝． 　　根據(jù)問題的實際意義，當(dāng)cos＝時，函數(shù)取得最小值，此時sin＝，∴cot＝， 　　∴AC＝50－40cot＝20(km)，即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最�。�