Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），過(guò)其右焦點(diǎn)F作直線l交C于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過(guò)A作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q（Q不與A、B重合）．
（i）設(shè)G為△ABO的外接圓的圓心，證明：$\frac{|AB|}{|GF|}$為定值；
（ii）證明：直線BQ過(guò)定點(diǎn)P．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的焦距為2，過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），列出方程組，求出b²=3，a²=4．由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）（i）AB⊥x軸時(shí)，把x=1代入橢圓的方程可得：y=$±\frac{3}{2}$，設(shè)A$（1，\frac{3}{2}）$，
可得線段OA的垂直平分線為：y-$\frac{3}{4}$=-$\frac{2}{3}$$（x-\frac{1}{2}）$，令y=0，解得x=$\frac{13}{8}$，從而$\frac{|AB|}{|GF|}$=$\frac{24}{5}$，
（ii）設(shè)直線AB的方程為：my+1=x．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+1=x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
直線BQ的方程；y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（x-{x}_{2}）$
 根據(jù)對(duì)稱性，定點(diǎn)P在x軸上．故設(shè)P（t，0）
即-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（t-{x}_{2}）$⇒t=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=2m$•\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+1=-2即可

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），
∴由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得c=1，b²=3，a²=4；
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）（i）AB⊥x軸時(shí)，把x=1代入橢圓的方程可得：y=$±\frac{3}{2}$，
設(shè)A$（1，\frac{3}{2}）$，可得線段OA的垂直平分線為：y-$\frac{3}{4}$=-$\frac{2}{3}$$（x-\frac{1}{2}）$，
令y=0，解得x=$\frac{13}{8}$，
∴G$（\frac{13}{8}，0）$，|GF|=$\frac{5}{8}$；
又|AB|=3，從而$\frac{|AB|}{|GF|}$=$\frac{24}{5}$；
（ii）設(shè)直線AB的方程為：my+1=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+1=x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則Q（x₁，-y₁），
則y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
my₁+1=x₁，my₂+1=x₂
∴直線BQ的方程；y-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（x-{x}_{2}）$
 根據(jù)對(duì)稱性，定點(diǎn)P在x軸上．故設(shè)P（t，0）
即-y₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（t-{x}_{2}）$⇒t=$\frac{{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=2m$•\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$+1=-2
∴直線BQ過(guò)定點(diǎn)P（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．