Question

f(x)＝x²－4x－4，x∈[t，t＋1]，t∈R，求：

(1)f(x)的最小值g(t)的解析式；

(2)求g(t)的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝(x－2)2－8，∴f(x)的對(duì)稱軸是直線x＝2． 　　當(dāng)2∈[t，t＋1]，即t≤2≤t＋1時(shí)，1≤t≤2，g(t)＝f(2)＝－8； 　　當(dāng)2＞t＋1，即t＜1時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上隨x增大f(x)減�。� 　　∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7． 　　當(dāng)t＞2時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上隨x增大f(x)增大， 　　∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4． 　　綜上可得g(t)＝t 　　(2)當(dāng)t＜1時(shí)，g(t)＝t2－2t－7＝(t－1)2－8＞－8； 　　當(dāng)1≤t≤2時(shí)，g(t)＝－8； 　　當(dāng)t＞2時(shí)，g(t)＝t2－4t－4＝(t－2)2－8＞－8， 　　則g(t)的最小值是－8．

提示：

(1)易得函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝2，之后分對(duì)稱軸在區(qū)間[t，t＋1]左、內(nèi)、右分段得出最小值的解析式．(2)g(t)是分段函數(shù)，各段上最小值中的最小值是g(t)的最小值．