【題目】已知橢圓的離心率為,且四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積是

1)求橢圓的方程;

2)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),且不垂直于軸,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),的中點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(是坐標(biāo)原點(diǎn)),求四邊形的面積的最小值.

【答案】128

【解析】

1)由離心率可知,由四邊形的面積可知,再結(jié)合橢圓中,從而可求,進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)設(shè)直線的方程為,,將直線與橢圓聯(lián)立,由韋達(dá)定理可得,從而可求出直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,可求出,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則可知

,通過(guò)整理可求出,即可得,由,即可求出面積的最小值.

解:(1)由題意可得,解得,

故橢圓的方程為

2)由不垂直于 軸,設(shè)直線的方程為,

聯(lián)立,整理得,則,,

從而,故

則直線的斜率為,所以直線的方程為,即

聯(lián)立,整理得,則

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則點(diǎn)到直線的距離也為,

從而

因?yàn)辄c(diǎn)在直線的兩側(cè),所以,

所以,則

因?yàn)?/span>,所以,

則四邊形的面積

因?yàn)?/span>(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立),

所以,即四邊形的面積的最小值是8

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1)求曲線的方程;

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