Question

16．過雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F的直線l：y=$\sqrt{3}x-4\sqrt{3}$與C只有一個公共點，則C的焦距為8，C的離心率為2．

Answer 1

分析 結(jié)合雙曲線的性質(zhì)$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，0=$\sqrt{3}$c-4$\sqrt{3}$，求出a，c即可．

解答 解：過雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
因為過雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F的直線l：y=$\sqrt{3}x-4\sqrt{3}$與C只有一個公共點，
所以$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，0=$\sqrt{3}$c-4$\sqrt{3}$，
又因為a²+b²=c²，
解得c=3，a=$\frac{3}{2}$，
所以2c=8，e=$\frac{c}{a}$=2，
故答案為：8，2

點評 本題給出雙曲線方程，求經(jīng)過雙曲線的右交點且與雙曲線只有一個公共點的直線的條數(shù)．著重考查了直線的方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．