Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+8x，求f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值h（t）．

Answer 1

分析：把二次函數(shù)變?yōu)轫旤c(diǎn)形式，即可找出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=4，分三種情況考慮：當(dāng)區(qū)間在對(duì)稱軸的左邊即t+1小于4時(shí)，得到f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，則h（t）等于f（t+1），化簡(jiǎn)得到h（t）關(guān)于t的關(guān)系式，并求出此時(shí)t的取值范圍；當(dāng)4在區(qū)間內(nèi)即4大于等于t小于等于t+1時(shí)，h（t）等于頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即f（4），求出其值并求出此時(shí)t的取值范圍；當(dāng)區(qū)間在對(duì)稱軸的右邊即t大于4時(shí)，得到f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，則h（t）等于f（t），化簡(jiǎn)后得到h（t）關(guān)于t的關(guān)系式，并求出此時(shí)t的范圍，綜上，得到h（t）關(guān)于t的分段函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：因?yàn)閒（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16．
①當(dāng)t+1＜4，即t＜3時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，
則h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；
②當(dāng)t≤4≤t+1，即3≤t≤4時(shí)，h（t）=f（4）=16；
③當(dāng)t＞4時(shí)，f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，
h（t）=f（t）=-t²+8t．
綜上，h(t)=

-t2+6t+7，t＜3 16，3≤t≤4 -t2+8t，t＞4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．