Question

定義在R上的函數(shù)f(x)=

x+b

ax2+1

（a，b∈R且a≠0）是奇函數(shù)，當x=1時，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）設曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線l與y軸的交點為（0，t），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）R上的函數(shù)f(x)=

x+b

ax2+1

（a，b∈R且a≠0）是奇函數(shù)，可得f（0）=0，從而可求b=0，利用當x=1時，f（x）取得最大值，可求a=1，并確定函數(shù)的定義域；
（2）先求曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線l，進而可求切線y軸的交點，從而構建函數(shù)，結合函數(shù)的定義域，利用導數(shù)法，可求實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）∵R上的函數(shù)f(x)=

x+b

ax2+1

（a，b∈R且a≠0）是奇函數(shù)
∴f（0）=0，解得b=0
∴f(x)=

x

ax2+1

∴f′（x）=

ax2+1-x×2ax

(ax2+1)2

=

-ax2+1

(ax2+1)2

∵當x=1時，f（x）取得最大值
∴f′（1）=

-a +1

(a+1)2

=0
∴a=1
（2）由（1）知，f(x)=

x

x2+1

，f′（x）=

-x2+1

(x2+1)2

∴f′（x₀）=

-x02+1

(x02+1)2

∴曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線l為：y-

x0

x02+1

=

-x02+1

(x02+1)2

×(x-x0)
令x=0，則y=

x0

x02+1

+

-x02+1

(x02+1)2

×(0-x0)
∴t=

2x03

(x02+1)2

∴t′=

2x02(x02+1)(3-x02)

(x02+1)4

由t′＞0，可得3-x0 2＜0，解得-

3

＜x0＜

3

；
由t′＜0，可解得x₀＜-

3

，x0＞

3

∴函數(shù)在[-

3

，

3

]上單調增，在（-∞，-

3

），（

3

，+∞）上單調減
∵x₀＞0，t＞0；x₀＜0，t＜0
∴x₀=-

3

時，tmin=-

3 3

8

；x₀=

3

時，tmax=

3 3

8

∴實數(shù)t的取值范圍是[-

3 3

8

， 

3 3

8

]．

點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的性質，考查導數(shù)的幾何意義，解題的關鍵是確定函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的定義域．