已知函數(shù)f(x)=2n
1+x2
-x在[0,+∞)上最小值是an(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=
4
a
2
n
+1
,求證:b1+b2+…+bn
5
3
分析:(1)求導(dǎo)得出f′(x)=2n•
2x
2
1+x2
-1=
2nx
1+x2
-1
,利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,得出an=f(
1
4n2-1
)=
4n2-1

(2)bn=
4
a
2
n
+1
=
1
n2
,對(duì)分母放縮列項(xiàng)和進(jìn)行證明.
解答:解:(1)f′(x)=2n•
2x
2
1+x2
-1=
2nx
1+x2
-1
,由f′(x)=0,得2nx=
1+x2
,兩邊平方并解出x=
1
4n2-1
,
當(dāng)x>
1
4n2-1
時(shí),f′(x)>0,當(dāng)0<x
1
4n2-1
時(shí),f′(x)<0,所以最小值是an=f(
1
4n2-1
)=
4n2-1

(2)bn=
4
a
2
n
+1
=
1
n2

當(dāng)n=1時(shí),b1=1<
5
3

當(dāng)n=2時(shí),b1+b2+=1+
1
4
=
5
4
5
3

當(dāng)n≥3時(shí),b1+b2+…+bn=
1
12
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
<1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(n-1)×n

=1+(
1
1
-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+
1
(n-1)
-
1
n

=2-
1
n
,
1
n
1
3
,∴2-
1
n
≤2-
1
3
=
5
3
,即當(dāng)n≥3時(shí)不等式也成立.
綜上所述,不等式對(duì)于任意正整數(shù)都成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合,考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,考查不等式的證明,考查放縮法的運(yùn)用,有一定的難度.
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已知函數(shù)f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )

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已知函數(shù)f(x)=2+log0.5x(x>1),則f(x)的反函數(shù)是( 。

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已知函數(shù)f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1
(1)m為何值時(shí),函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn),求m的值.

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(2013•上海)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=0,求a2,a3,a4;
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=2|x-2|-x+5,若函數(shù)f(x)的最小值為m
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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