Question

已知F₂（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點P滿足||PF₁|-|PF₂||=2，記點P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若過點F₂的直線l交軌跡E于P、Q兩不同點．設(shè)點M（m，0），問：是否存在實數(shù)m，使得直線l繞點若過點F₂的直線l交軌跡E于P、Q兩不同點．設(shè)點M（m，0），問：無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件知，點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支，從而寫出軌跡E的方程即可．
（2）分直線的斜率存在于不存在，進行分類討論．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用

MP

•

MQ

=0即可求得m值，從而解決問題．

解答：解：（1）∵點P滿足||PF₁|-|PF₂||=2，
∴點P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的雙曲線．
∵F₂（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴c=2
∵a=1，∴b²=c²-a²=3
∴軌跡方程為x2-

y2

3

=1；
（2）假設(shè)存在點M（m，0），使得無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有

MP

•

MQ

=0成立
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

解得k²＞3．
∵

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4k2(2k2+m)

k2-3

+m2+4k2
=

3-(4m+5)k2

k2-3

+m2．
∵

MP

•

MQ

=0，
∴3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0對任意的k²＞3恒成立，
∴

1-m2=0 m2-4m-5=0

，解得m=-1．
∴當(dāng)m=-1時，

MP

•

MQ

=0．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知結(jié)論也成立，
綜上，當(dāng)m=-1時，

MP

•

MQ

=0．

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩個向量的數(shù)量積公式及雙曲線的性質(zhì)解決具體問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．