Question

（本小題16分）

已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，焦點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（不同于），直線(xiàn)分別交該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)。

（1）求拋物線(xiàn)方程；

（2）求證：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，且當(dāng)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，圓與直線(xiàn)相切。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】（1）依題意，焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)方程為。……………4分

（2）由得，，，

 ∴。            ……………………6分

設(shè)，則，

直線(xiàn)：，令，

得，即， ……………………8分

同理，直線(xiàn)：，令，得，

即，……………………10分

∴，∴，

∴以為直徑的圓經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)。  ……………………13分

當(dāng)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，，可得中點(diǎn)，即圓心，

，，∴，即，

∴圓與直線(xiàn)相切。