Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若（a₂-1）³+5（a₂-1）=1，（a₂₀₁₀-1）³+5（a₂₀₁₀-1）=-1，以下給出四個(gè)判斷①公差d＜0；�、赟₂₀₁₁=2011；�、踑₁₀₀₀＜1；�、躍_n有最大值，其中正確判斷的序號(hào)是

 

．（填寫所有正確判斷的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+5x，由函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性以及等差數(shù)列的性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+5x，可得函數(shù)f（x）=x³+5x是奇函數(shù)，
由條件可得f（a₂-1）=1，f（a₂₀₁₀-1）=-1，
求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=3x²+5＞0，∴函數(shù)f（x）=x³+5x是單調(diào)遞增的，
∵f（a₂-1）=1＞f（a₂₀₁₀-1）=-1，
∴a₂-1＞a₂₀₁₀-1，且a₂-1=-（a₂₀₁₀-1）
∴a₂＞0＞a₂₀₁₀，且a₂+a₂₀₁₀=2，可得①公差d＜0正確；
又S₂₀₁₁=

a1+a2011

2

×2011=

a2+a2010

2

×2011=2011，可得②S₂₀₁₁=2011正確；
又S₂₀₁₁=

a2+a2010

2

×2011=

2a1006

2

×2011=2011a₁₀₀₆=2011，∴a₁₀₀₆=1，
由數(shù)列單調(diào)遞減可得a₁₀₀₀＜a₁₀₀₆=1，故③正確，
由公差d＜0和二次函數(shù)的性質(zhì)可知④S_n有最大值正確．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬中檔題．