Question

某電器公司生產(chǎn)A種型號(hào)的家庭電器.1996年平均每臺(tái)電腦生產(chǎn)成本為5 000元，并以純利潤(rùn)20%標(biāo)定出廠價(jià).1997年開始，公司更新設(shè)備，加強(qiáng)管理，逐步推行股份制，從而使生產(chǎn)成本逐年降低.2000年平均每臺(tái)A種型號(hào)的家庭電腦盡管出廠價(jià)僅是1996年出廠價(jià)的80%，但卻實(shí)現(xiàn)了純利潤(rùn)50%的高效益．求
（1）2000年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本；
（2）以1996年的生產(chǎn)成本為基數(shù)，用二分法求1996年～2000年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù)（精確到0.01）．

Answer 1

分析：第（1）問是價(jià)格和利潤(rùn)的問題，銷售總利潤(rùn)可以按每臺(tái)來算也可以按實(shí)現(xiàn)50%的利潤(rùn)來算，從而找出等量關(guān)系；
第（2）問是增長(zhǎng)率問題，要注意列出方程后，用二分法求解，但應(yīng)用二分法時(shí)注意合理使用計(jì)算器．

解答：解：（1）設(shè)2000年每臺(tái)電腦的成本為p元，根據(jù)題意，得p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p=3 200（元）．故2000年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為3 200元．
（2）設(shè)1996年～2000年間每年平均生產(chǎn)成本降低的百分率為x，
根據(jù)題意，得5000（1-x）⁴=3 200（0＜x＜1）．
令f（x）=5 000（1-x）⁴-3 200，作出x、f（x）的對(duì)應(yīng)值表，如下表：

x	0	0.15	0.3	0.45	0.6	0.75	0.9	1.05
f（x）	1 800	-590	-2 000	-2 742	-3 072	-3 180	-3 200	-3 200

觀察上表，可知f（0）•f（0.15）＜0，說明此函數(shù)在區(qū)間（0，0.15）內(nèi)有零點(diǎn)x₀．
取區(qū)間（0，0.15）的中點(diǎn)x₁=0.075，用計(jì)算器可算得f（0.075）≈460．
因?yàn)閒（0.075）•f（0.15）＜0，所以x₀∈（0.075，0.15）．
再�。�0.075，0.15）的中點(diǎn)x₂=0.112 5，用計(jì)算器可算得f（0.112 5）≈-98．
因?yàn)閒（0.075）•f（0.112 5）＜0，所以x₀∈（0.075，0.112 5）．
同理，可得x₀∈（0.009 375，0.112 5），x₀∈（0.103 125，0.112 5），x₀∈（0.103 125，0.107 812 5），x₀∈（0.105 468 75，0.107 812 5）．
由于|0.107 812 5-0.105 468 75|=0.002 343 75＜0.01，
此時(shí)區(qū)間（0.105 468 75，0.107 812 5）的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.01的近似值都是0.11，
所以原方程精確到0.01的近似解為0.11．
1996年～2000年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù)為11%．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查建立函數(shù)模型的能力和用二分法來解函數(shù)模型方法．