Question

（2012•遼寧）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c．角A，B，C成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）邊a，b，c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差數(shù)列可知B=60°，從而可得cosB的值；
（Ⅱ）（解法一），由b²=ac，cosB=

1

2

，結(jié)合正弦定理可求得sinAsinC的值；
（解法二），由b²=ac，cosB=

1

2

，根據(jù)余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

可求得a=c，從而可得△ABC為等邊三角形，從而可求得sinAsinC的值．

解答：解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，
∴cosB=

1

2

；…6分
（Ⅱ）（解法一）
由已知b²=ac，根據(jù)正弦定理得sin²B=sinAsinC，
又cosB=

1

2

，
∴sinAsinC=1-cos²B=

3

4

…12分
（解法二）
由已知b²=ac及cosB=

1

2

，
根據(jù)余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

解得a=c，
∴B=A=C=60°，
∴sinAsinC=

3

4

…12分

點評：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，著重考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查正弦定理與余弦定理的應用，考查分析轉(zhuǎn)化與運算能力，屬于中檔題．