Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)F₂與拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)重合，橢圓C₁與拋物線C₂在第一象限的交點(diǎn)為P，．圓C₃的圓心T是拋物線C₂上的動(dòng)點(diǎn)，圓C₃與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=4．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）證明：無論點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)到何處，圓C₃恒經(jīng)過橢圓C₁上一定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出橢圓的坐標(biāo)，通過定義建立方程，化簡(jiǎn)即可得到橢圓C₁的方程．
（2）設(shè)出點(diǎn)T的坐標(biāo)，將拋物線方程代入圓的方程，得到一元二次方程，證明此方程恒成立即可．
解答：解：（1）：∵拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)F₂的坐標(biāo)為（1，0）．
∴橢圓C₁的左焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為F₁（-1，0），
拋物線C₂的準(zhǔn)線方程為x=-1．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
由拋物線的定義可知|PF₂|=x₁+1，
∵，
∴，解得．
由，且y₁＞0，得．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
在橢圓C₁：中，c=1.．
∴．
∴橢圓C₁的方程為．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，y），圓C₃的半徑為r，
∵圓C₃與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=4，
∴．
∴．
∴圓C₃的方程為（x-x）²+（y-y）²=4+x²．（*）
∵點(diǎn)T是拋物線C₂：y²=4x上的動(dòng)點(diǎn)，
∴y²=4x（x≥0）．
∴．
把代入（*）
消去x整理得：．（**）
方程（**）對(duì)任意實(shí)數(shù)y恒成立，
∴
解得
∵點(diǎn)（2，0）在橢圓C₁：上，
∴無論點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)到何處，圓C₃恒經(jīng)過橢圓C₁上一定點(diǎn)（2，0）．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、圓、拋物線、橢圓等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．