Question

（2011•崇明縣二模）（理）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，點E、F、G分別為線段PA、PD和CD的中點．
（1）求異面直線EG與BD所成角的大小；
（2）在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離恰為

4

5

？若存在，求出線段CQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）以點A為坐標原點，射線AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建系如圖示，寫出點E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)的坐標，利用異面直線EG與BD所成角公式求出異面直線EG與BD所成角大小即可；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即先假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足條件，設(shè)點Q（x₀，2，0），平面EFQ的法向量為

n

=(x，y，z)，再點A到平面EFQ的距離，求出x₀，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）以點A為坐標原點，射線AB，AD，AZ分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系如圖示，點E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），
則

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)．
設(shè)異面直線EG與BD所成角為θ cosθ=

| EG • BD |

|EG| • |BD|

=

|-2+4|

6 • 8

=

3

6

，
所以異面直
線EG與BD所成角大小為 arccos

3

6

．
（2）假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足條件，
設(shè)點Q（x₀，2，0），平面EFQ的法向量為

n

=(x，y，z)，
則有

n  • EF =0  n  • EQ =0

得到y(tǒng)=0，z=xx₀，取x=1，
所以

n

=(1，0，x0)，
則

| EA •  n  |

|n|

=0.8，
又x₀＞0，解得 x0=

4

3

，
所以點 Q(

4

3

，2，0)即

CQ

=(-

2

3

，0，0)，
則

|CQ|

=

2

3

．
所以在線段CD上存在一點Q滿足條件，且線段CQ的長度為

2

3

．

點評：考查利用空間向量證明垂直和求夾角和距離問題，以及平行向量與共線向量的判定定理，體現(xiàn) 了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬中檔題．