Question

數(shù)列a_n中，a₁=1，且點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在數(shù)列a_n中，依次抽取第3，4，6，…，2^n-1+2，…項(xiàng)，組成新數(shù)列b_n，試求數(shù)列b_n的通項(xiàng)b_n及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得a_n+1-a_n=2，從而得到數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．
（Ⅱ）由題意得bn=a(2n-1+2)=2(2n-1+2) -1=2n+ 3，觀察通項(xiàng)公式可知采用分組求和，再分別代入等比數(shù)列及等差數(shù)列的求和公式．

解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x+2的圖象上，
∴a_n+1=a_n+2．（2分）．
∴a_n+1-a_n=2，即數(shù)列a_n是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，（4分）．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依題意知：bn=a2n-1+2=2(2n-1+2)-1=2n+3，（8分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

n

i=1

(2i+3)=

n

i=1

2i+3n=

2-2n+1

1-2

+3n=2n+1+3n-2．（12分）

點(diǎn)評：本題（1）主要考查等差數(shù)列同項(xiàng)公式的求解，屬于公式的基本運(yùn)用．（2）解題的關(guān)鍵是得到bn=a2n-1+2，從而分別利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式代入求值．