已知f（x）=4|x|3-2a|x|．
（1）設f（x）圖象在點（-1，f（-1））處的切線方程是2x+y+b=0，求b的值．
（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)在[-1，1]內(nèi)的最小值為-2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
分析：（1）先把f（x）化為分段函數(shù)，由x＜0時可得f′（x），根據(jù)f′（-1）=-2可得a，從而得f（-1），由點（-1，-6）在直線y+2x+b=0上可得b；
（2）易知f（x）是偶函數(shù)，f（x）在[-1，1]內(nèi)的最小值為-2充要條件是f（x）在[0，1]內(nèi)的最小值為-2，當x∈[0，1]時，f（x）=4x3-2ax，利用導數(shù)可求f（x）在[0，1]內(nèi)的最小值，令其為-2解出a驗證條件即可，注意分類討論；
解答：解：（1）f（x）=4|x|3-2a|x|=
4x3-2ax，x≥0
-4x3+2ax，x＜0
，
當x＜0時，f'（x）=-12x2+2a，
∵x=-1時，切線的斜率是-2，∴f'（-1）=-2，即-12+2a=-2，a=5，
此時f（-1）=4-10=-6，點（-1，-6）在直線y+2x+b=0上，
∴b=8；
（2）∵f（x）是偶函數(shù)，f（x）在[-1，1]內(nèi)的最小值為-2充要條件是f（x）在[0，1]內(nèi)的最小值為-2，
當x∈[0，1]時，f（x）=4x3-2ax，f'（x）=12x2-2a，
令f’（x）=0，則x=±
a
6
(a≥0)，
①當
a
6
≥1，即a≥6，x∈[0，1]時，f’（x）＜0，f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，其最小值為f（1），令f（1）=-2，4-2a=-2，a=3，不合題意舍去．
②當0＜
a
6
＜1，即0＜a＜6時，
x 0 （0，
a
6
）
a
6
 （
a
6
，1）		 1
f（x） - 0 +
f’（x） 0 ↓ 取極小值 ↑ 4-2a
f（x）在[0，1]的最小值為f（
a
6
），
令f（
a
6
）=-2，即4（
a
6
）3-2a
a
6
=-2，
解之得：a=
3
32
=
3
34
2
∈[0，6]，
∴存在實數(shù)a=
3
34
2
，使得函數(shù)在[-1，1]內(nèi)的最小值為-2．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生分析問題解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin2(
π
4
+x)+cos2x+
1
2
，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最值與最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥
3
2
(x∈[0，π])成立的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
f1(x)，f1(x)≤f2(x)
f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）當a=1時，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）-m=0有4個不等的實根，求實數(shù)m的范圍；
（3）當2≤a＜9時，設f（x）=f2（x）所對應的自變量取值區(qū)間的長度為l（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2sin2(
π
4
+ωx)-
3
cos2ωx-1(ω＞0)的最小正周期為
2π
3

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[
π
6
，
π
2
]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
x-3
+4(x≥3)，則f-1（5）=
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•重慶三模）已知f（x）是個一元三次函數(shù)，且滿足
lim
x→1
f(x)
x-1
=4，
lim
x→2
f(x)
x-2
=-2，若函數(shù)F（x）=
f(x)
x-3
(x≠3)
a       (x=3)
在R上處處連續(xù)，則實數(shù)a的值為
4
4
．

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