已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，AB=PA=2，E、F分別為BC、PD的中點．
（1）求證：PB∥平面AFC；
（2）求平面PAE與平面PCD所成銳二面角的余弦值．


證明：（1）連接BD交AC于O，∵ABCD為菱形，則BO=OD（1分）
連接FO，則FO∥PB（3分）∵FO?平面AFC，PB?平面AFC，∴PB∥平面AFC（4分）
（2）解：∵E為BC中點，∴AB=2BE∵∠ABE=60°，∴∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴AE⊥AD．（6分）
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，
則，D（90，2，0）（8分）
平面PAE的一個法向量為m=（0，1，0）（9分）
設(shè)平面PDC的一個法向量為n=（x，y，z）
則∴
∴，令y=∴（11分）
∴，
∴平面PAE與平面PCD所成銳二面角的余弦值為．（12分）
分析：對于（1），要證PB∥平面AFC，只需證明PB與平面AFC內(nèi)的一條直線平行即可，F(xiàn)為PD的中點，底面ABCD為菱形，故連接BD交AC于O，則O為AC的中點，從而OF為三角形PBD的中位線，易知FO∥PB，從而得證；
對于（2），由于E為BC中點，∴AB=2BE∵∠ABE=600，∴∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴AE⊥AD，從而可以以A為坐標(biāo)原點，
以AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間作標(biāo)系，分別求出平面PAE與平面PCD一個法向量，求出這兩個法向量的夾角的余弦值的絕對值即可．
點評：本題考查線面平行的判定和二面角的求法，要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，即將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行，將求二面角轉(zhuǎn)化為求其法向量的夾角．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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