Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)，f（x）的最大值為2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)的解析式化為

2

sin（2x+

π

4

）+a+1，最小正周期 T=

2π

2

，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范圍，即為所求．
（2）根據(jù)

π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

12

，可得當(dāng)  2x+

π

4

=

π

2

 時(shí)，sin（2x+

π

4

）=1，由 f_max（x）=

2

+1+a=2，
求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=2cos²x+sin2x+a=1+cos2x+sin2x+a=

2

sin（2x+

π

4

）+a+1，
則函數(shù)f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．  （4分）
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
即[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，，k∈z，為 f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間．    （7分）
（2）當(dāng)x∈[0，

π

6

]時(shí)，

π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

12

，當(dāng)  2x+

π

4

=

π

2

 時(shí)，sin（2x+

π

4

）=1，
所以，f_max（x）=

2

+1+a=2，∴a=1-

2

．            （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，正弦函數(shù)的定義域和值域和周期性，把函數(shù)的解析式化為

2

sin（2x+

π

4

）+a+1，是解題的突破口．