Question

已知平面上三個(gè)向量

a

，

b

，

c

的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°．
（1）求證：(

a

-

b

)⊥

c

；
（2）若|k

a

+

b

+

c

|＞1 （k∈R），求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的分配律及向量的數(shù)量積公式求出(

a

-

b

)•

c

；利用向量的數(shù)量積為0向量垂直得證．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方及向量的數(shù)量積公式將已知等式平方得到關(guān)于k的不等式求出k的范圍．

解答：解：（1）證明∵(

a

-

b

)•

c

=

a

•

c

-

b

•

c

=|

a

|•|

c

|•cos120°-|

b

|•|

c

|•cos120°=0，
∴(

a

-

b

)⊥

c

．
（2）解|k

a

+

b

+

c

|＞1?(k

a

+

b

+

c

)2＞1，
即k2 

a

2 +

b

2+

c

2+2k

a

•

b

+2k

a

•

c

+2

b

•

c

＞1．
∵|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，且

a

，

b

，

c

相互之間的夾角均為120°，
∴

a

2=

b

2=

c

2=1，

a

•

b

=

b

•

c

=

a

•

c

=-

1

2

，
∴k²+1-2k＞1，即k²-2k＞0，
∴k＞2或k＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量垂直的充要條件、向量模的平方等于向量的平方、向量的數(shù)量積公式．