過拋物線y=x2的頂點(diǎn)作互相垂直的兩條弦OA、OB,拋物線的頂點(diǎn)O在直線AB上的射影為P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
【答案】分析:設(shè)P(x,y),欲求這條曲線的方程,只須求出x,y之間的關(guān)系即可,利用OA⊥OB,結(jié)合方程根與系數(shù)的關(guān)系,將此條件用坐標(biāo)代入化簡即得曲線的方程.
解答:解:設(shè)P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
lAB:y=kx+b,(b≠0)由消去y得:x2-kx-b=0,x1x2=-b.
∵OA⊥OB,∴,∴x1x2+y1y2=0,
所以x1x2+(x1x22=-b+(-b)2=0,b≠0,∴b=1,∴直線AB過定點(diǎn)M(0,1),
又OP⊥AB,∴點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)M為直徑的圓(不含原點(diǎn)O),
∴點(diǎn)P的軌跡方程為
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直接法求軌跡方程,直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系,直接坐標(biāo)化,列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.
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