Question

9．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，已知a=2c，且A-C=$\frac{π}{2}$．
（1）求cosC的值；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，求c．

Answer 1

分析 （1）由條件得出sinA=sin（C+$\frac{π}{2}$）=cosC=2sinC，結(jié)合sin²C+cos²C=1求cosC的值；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，由余弦定理求c．

解答 解：（1）A-C=$\frac{π}{2}$，則A=C+$\frac{π}{2}$，
a=2c，由正弦定理得sinA=2sinC，
∴sinA=sin（C+$\frac{π}{2}$）=cosC=2sinC①
又sin²C+cos²C=1②，
由①②得cosC=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
根據(jù)條件得cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）由余弦定理c²=a²+1-2a•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴c²=4c²+1-4c•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴3c²-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$c+1=0，
∴c=$\frac{\sqrt{5}}{3}$（小角對(duì)小邊）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．