Question

已知點(diǎn)P為圓周x²+y²=4的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)線段PH的中點(diǎn)為E，記點(diǎn)E的軌跡方程為C，點(diǎn)A（0，1）
（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程C；
（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，1）且與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求△OAB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程；
（3）是否存在方向向量

a

=(1，k)(k≠0)的直線l，使得l與曲線C交與兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且有|

AM

|=|

AN

|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程，設(shè)E（x，y），只須求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，利用P（x，2y）點(diǎn)在圓上，即可得到答案；
（2）根據(jù)三角形的面積公式得S△OAB=

1

2

|OA||xB|=

1

2

|xB|，欲求面積的最大值，只須考慮|x_B|的最大值即可．由此求出直線l的方程；
（3）先假設(shè)存在符合題設(shè)條件的直線l，設(shè)其方程為：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出k的取值范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）設(shè)E（x，y），則P（x，2y），而P點(diǎn)在圓上
所以x²+4y²=4，即

x2

4

+y2=1
（2）S△OAB=

1

2

|OA||xB|=

1

2

|xB|
而|x_B|≤2，故當(dāng)x_B=±2時(shí)，△OAB面積的最大值為1
此時(shí)，直線l的方程為：x-2y+2=0或x+2y-2=0
（3）假設(shè)存在符合題設(shè)條件的直線l，設(shè)其方程為：y=kx+m，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)Q（x₀，y₀）
于是

y=kx+m x2+4y2=4

⇒（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0
4k²-m²+1＞0…①
而x1+x2=-

8km

1+4k2

故x0=-

4km

1+4k2

從而y0=

m

1+4k2

|

AM

|=|

AN

|?AQ⊥l
而kAQ=

m 1+4k2 -1

- 4km 1+4k2 -0

=

4k2-m+1

4km

故k_AQ•k=-1
可得：3m=-4k²-1…②
由①②得：-3＜m＜0
故k∈(-

2

，0)∪(0，

2

)

點(diǎn)評(píng)：考查軌跡的求法和向量在幾何中的應(yīng)用，直線與圓錐曲線相交弦的中點(diǎn)問(wèn)題，解題方法一般聯(lián)立，消元，利用韋達(dá)定理，體現(xiàn)了方程的思想和轉(zhuǎn)化的思想方法，屬中檔題．