Question

7．函數(shù)f（x）（x＞0）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若xf′（x）+f（x）=e^x，且f（1）=e，則（　�。�

• A． f（x）的最小值為e
• B． f（x）的最大值為e
• C． f（x）的最小值為$\frac{1}{e}$
• D． f（x）的最大值為$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=xf（x），求導(dǎo)，得到f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出．

解答 解：設(shè)g（x）=xf（x），
∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=e^x，
∴g（x）=e^x，
∴xf（x）=e^x，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)f′（x）＞0，時(shí)，解得x＞1，函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，時(shí)，解得0＜x＜1，函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=e，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，屬于中檔題．