Question

7．函數(shù)f（x）（x＞0）的導函數(shù)為f′（x），若xf′（x）+f（x）=e^x，且f（1）=e，則（　�。�

• A． f（x）的最小值為e
• B． f（x）的最大值為e
• C． f（x）的最小值為$\frac{1}{e}$
• D． f（x）的最大值為$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 設g（x）=xf（x），求導，得到f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，再根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值得關系即可求出．

解答 解：設g（x）=xf（x），
∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=e^x，
∴g（x）=e^x，
∴xf（x）=e^x，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
當f′（x）＞0，時，解得x＞1，函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0，時，解得0＜x＜1，函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=e，
故選：A．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的最值得關系，關鍵是構造函數(shù)，求出函數(shù)f（x）的表達式，屬于中檔題．