Question

已知數(shù)列a_n滿足a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意給定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*（k＜p＜r）使

1

ak

，  

1

ap

，  

1

ar

成等差數(shù)列？若存在，用k分別表示p和r（只要寫出一組）；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）證明：存在無窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其邊長(zhǎng)為a_n1，a_n2，a_n3．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，a₁+a₂++a_n-1=（n-1）²，由此能求出數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式．
（2）當(dāng)k=1時(shí)，若存在p，r使

1

ak

，  

1

ap

，  

1

ar

成等差數(shù)列，則

1

ar

=

2

ap

-

1

ak

=

3-2p

2p-1

，再由題設(shè)條件分類討論知當(dāng)k=1時(shí)，不存在p，r；當(dāng)k≥2時(shí)，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2滿足題設(shè)．
（3）作如下構(gòu)造：an1=(2k+3)2，  an2=(2k+3)(2k+5)，   an3=(2k+5)2，其中k∈N^*，它們依次為數(shù)列a_n中的第2k²+6k+5項(xiàng)，第2k²+8k+8項(xiàng)，第2k²+10k+13項(xiàng)，顯然它們成等比數(shù)列，且an1＜an2＜an3，所以它們能組成三角形．由k∈N^*的任意性，這樣的三角形有無窮多個(gè)．再用反證法證明其中任意兩個(gè)三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂不相似．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；
當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，a₁+a₂++a_n-1=（n-1）²，
所以a_n=n²-（n-1）²=2n-1；
綜上所述，a_n=2n-1（n∈N^*）．（3分）
（2）當(dāng)k=1時(shí)，若存在p，r使

1

ak

，  

1

ap

，  

1

ar

成等差數(shù)列，則

1

ar

=

2

ap

-

1

ak

=

3-2p

2p-1

，
因?yàn)閜≥2，所以a_r＜0，與數(shù)列a_n為正數(shù)相矛盾，因此，當(dāng)k=1時(shí)不存在；（5分）
當(dāng)k≥2時(shí)，設(shè)a_k=x，a_p=y，a_r=z，則

1

x

+

1

z

=

2

y

，所以z=

xy

2x-y

，（7分）
令y=2x-1，得z=xy=x（2x-1），此時(shí)a_k=x=2k-1，a_p=y=2x-1=2（2k-1）-1，
所以p=2k-1，a_r=z=（2k-1）（4k-3）=2（4k²-5k+2）-1，所以r=4k²-5k+2；
綜上所述，當(dāng)k=1時(shí)，不存在p，r；
當(dāng)k≥2時(shí)，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2滿足題設(shè)．（10分）
（3）作如下構(gòu)造：an1=(2k+3)2，  an2=(2k+3)(2k+5)，   an3=(2k+5)2，其中k∈N^*，
它們依次為數(shù)列a_n中的第2k²+6k+5項(xiàng)，第2k²+8k+8項(xiàng)，第2k²+10k+13項(xiàng)，（12分）
顯然它們成等比數(shù)列，且an1＜an2＜an3，an1+an2＞an3，所以它們能組成三角形．
由k∈N^*的任意性，這樣的三角形有無窮多個(gè)．（14分）
下面用反證法證明其中任意兩個(gè)三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂不相似：
若三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂相似，且k₁≠k₂，則

(2k1+3)(2k1+5)

(2k1+3)2

=

(2k2+3)(2k2+5)

(2k2+3)2

，
整理得

2k1+5

2k1+3

=

2k2+5

2k2+3

，所以k₁=k₂，這與條件k₁≠k₂相矛盾，
因此，任意兩個(gè)三角形不相似．
故命題成立．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意合理地構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解．