Question

設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2bsinA
（Ⅰ）求B的大��；
（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用正弦定理求得sinB的值，進(jìn)而求得B．
（2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用兩角和公式化簡整理，進(jìn)而根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得cosA+sinC的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，
所以sinB=

1

2

，
由△ABC為銳角三角形得B=

π

6

．
（Ⅱ）cosA+sinC=cosA+sin(π-

π

6

-A)=cosA+sin(

π

6

+A)=cosA+

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

sin(A+

π

3

)．
由△ABC為銳角三角形知，0＜A＜

π

2

．

π

3

＜A+

π

3

＜

5π

6

，
所以

1

2

＜sin(A+

π

3

)＜ 

3

2

．
由此有

3

2

＜

3

sin(A+

π

3

)＜

3

2

×

3

=

3

2

，
所以，cosA+sinC的取值范圍為(

3

2

，

3

2

)．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理得應(yīng)用和三角函數(shù)中兩角和公式的運(yùn)用．涉及了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生對三角函數(shù)知識的把握．